【PokerStars】约数 数论-约数

2021年1月7日13:50:07 发表评论
摘要

定义:若整数n除以整数d的余数为0,即d能整除n,则称d是n的约数,n是d的倍数,记作。

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约数

1约数

定义:若整数n除以整数d的余数为0,即d能整除n,则称d是n的约数,n是d的倍数,记作【PokerStars】约数 数论-约数

1.2算数基本定理的推导

在算法基本定理中约数 数论-约数,其中约数 数论-约数都是正整数,约数 数论-约数都是质数,且满足约数 数论-约数,则N的正约数集合可以表示为:
约数 数论-约数
N的正约数个数为
约数 数论-约数
N的所有正约数的和
【PokerStars】约数 数论-约数

1.3求N的正约数集合-试除法

若d>约数 数论-约数是一个约数那么n/d<约数 数论-约数也是一个约数。每个约数都是关于约数 数论-约数对称的。还有完全平方数。因此只要扫描1~【PokerStars】约数 数论-约数的所有数将d和n/d作为约数加入到集合中就可以。

1.4求1~n每个数的正约数集合-倍数法

以d为正约数的数有【PokerStars】约数 数论-约数从1到n扫描每个数,将每个数的倍数的正约数集合都加入d。

1.5反素数

对于任何正整数x,其约数的个数记作g(x),对于任意的0<i<x都满足g(i)<g(x)的数叫反素数。
性质1:其中1~ n中最大的反素数就是,1~n是约数最多的数中最小的一个。
性质2:不同质因数最多的数是10个因为约数 数论-约数,且所有质因数的指数总和不超过30,因为约数 数论-约数
性质3:将x分解成约数 数论-约数后,【PokerStars】约数 数论-约数每个数的指数是单调递减,因为可以将这个质数指数与一个较小的质数的指数交换,交换完毕后,数变小,但是正约数个数不变。
有了这三个性质对每个质数的指数进行dfs搜索就可以了。
余数之和

#include<iostream>using namespace std;bool st[100];int primes[100],cnt = 1;int c[100];//储存每个质因子的个数long long n,ans,k = 0;void get_primes(int n){    for(int i = 2;i < n;i++){        if(!st[i]) primes[cnt++] = i;        for(int j = 1;primes[j]*i < n;j++){            st[i*primes[j]] = true;            if(i%primes[j]==0) break;        }    }}void dfs(long long sum,long long count,int last){    if(sum>n) return;    if(count>k||(count==k&&sum<ans)) ans = sum,k = count;    for(int i = last;i < 11;i++){        if(c[i-1]>c[i]&&primes[i]*sum<=n){            c[i]++;            dfs(sum*primes[i],(count/c[i])*(c[i]+1),i);            c[i]--;        }    }}int main(){    get_primes(100);    c[0] = 0xfffffff;    cin>>n;    dfs(1,1,1);    cout<<ans<<endl;}

1.6余数之和

给出正整数n和k,计算j(n, k)=k mod 1 + k mod 2 + k mod 3 + … + k mod n的值。

例如j(5, 3)=3 mod 1 + 3 mod 2 + 3 mod 3 + 3 mod 4 + 3 mod 5=0+1+0+3+3=7。
约数 数论-约数
约数 数论-约数
约数 数论-约数这个式子中k/i向下取整最多能取约数 数论-约数,如果我们能确定每个数的范围,那么约数 数论-约数的时间就可以求出答案。
问题可以变为给出约数 数论-约数求出满足f(x)不变时,x的取值范围。我们设x是f(x)的左边界,那么右边界是多少呢?
约数 数论-约数,【PokerStars】约数 数论-约数
g(x)就是f(x)的右边界。可以理解为,我们先将k分为f(x)+1段,前x段每段长x,最后一段长度不固定,所有长度相加为k。我们要求最大的x。另每一段长度最大就是最后一段长度最小。其他位置均分k,分为f(x)段,并且我们要求的是取整数,所以x/f(x)需要向下取整。

#include<cstdio>#include<iostream>using namespace std;int main(){    long long n,k;    cin>>n>>k;    long long ans = n*k;    for(long long x = 1,gx = 0;x <= n;x = gx+1){        if(k/x==0) break;        gx = min(k/(k/x),n);        ans -= (k/x)*(gx + x)*(gx - x + 1)/2;    }    cout<<ans<<endl;}

2最大公约数

自然数d同时是a,b的约数,称d是公约数,d是所有公约数中最大的数d就是最大公约数,记作约数 数论-约数
自然数m同时是a,b的倍数,称m是公倍数。m是所以公倍数中最小的数,那么m就是最小公倍数记作约数 数论-约数
定理:约数 数论-约数都有约数 数论-约数
证明:约数 数论-约数
更相减损术:
约数 数论-约数约数 数论-约数
约数 数论-约数
证明:d是a,b的任意约数,那么约数 数论-约数所以约数 数论-约数所以这三个集合的公约数集合相等。
欧几里得算法:
约数 数论-约数,约数 数论-约数
证明:若a<b,约数 数论-约数
若a>=b,令约数 数论-约数其中约数 数论-约数显然r是约数 数论-约数的约数。对于a,b任意公约数d。约数 数论-约数所以【PokerStars】约数 数论-约数因此d也是r的约数。

3互质与欧拉函数

定义:约数 数论-约数约数 数论-约数则称a,b互质。gcd(a,b,c)称为a,b,c互质,而约数 数论-约数称为两两互质。例如2,3,4互质但是不是两两互质。
欧拉函数
1~N中与N互质的数的个数被称为欧拉函数,记为约数 数论-约数
欧拉函数的计算方法是对N分解约数 数论-约数
【PokerStars】约数 数论-约数
对N个数,排除以p为质因子的数,得到的就是欧拉函数。

3.1欧拉函数的性质

性质1:约数 数论-约数,1~n中与n互质的数的和为约数 数论-约数
性质2:若a,b互质,则约数 数论-约数
证明性质1:gcd(n,x) = gcd(n,n-x),所以与n互质的数是成对出现的分别为x和n-x平均值是约数 数论-约数一共有约数 数论-约数个。
证明性质2:根据求欧拉函数的公式,直接带入等式。等式左右两边相等。
下面这个定义是积性函数的定义。
定义:如果当a,b互质时,有f(ab) = f(a)*f(b),那么称函数f为积性函数。
性质3欧拉函数满足,积性函数也满足。
性质3:若f是积性函数,且在算数基本定理中,约数 数论-约数约数 数论-约数
性质4:设p为质数,若约数 数论-约数约数 数论-约数约数 数论-约数
性质5:设p为质数,若约数 数论-约数约数 数论-约数约数 数论-约数
性质6:约数 数论-约数
证明:首先看性质3直接代入求欧拉函数的公式即可,等式两边相等。
性质4,n/p包含质数p,n与n/p的质因数集合相同。求欧拉函数的公式中,只有N不同。从而可以推出关系。
性质5,n/p不包含质数p,n包含质数p。求欧拉函数的公式中,N不同,并且n/p比n少乘了一个约数 数论-约数
性质6:首先证明约数 数论-约数是积性函数。约数 数论-约数令f代表这个公式。
约数 数论-约数
n与m互质,证明了f是积性函数。对于单个因此约数 数论-约数来说,约数 数论-约数
因此对于整个n分解为几个【PokerStars】约数 数论-约数然后使用积性函数性质求出f(n)。

3.3利用埃筛计算欧拉函数的公式

埃筛会将每个合数被他不同的质因数筛一次。例如12被2和3筛。而欧拉函数需要被每个不同质因数p,【PokerStars】约数 数论-约数乘一次。修改代码的筛法,从标记合数,变为对欧拉函数执行乘法。

3.4利用线筛计算欧拉函数

线筛每个数只会被他的最小质因数筛一次。一个合数n的最小质因数是p,那么n/p的最小质因数可能是p可能是大于p的一种情况。线筛计算欧拉函数就是利用这两种情况性质4和5每次递推。所以线筛求欧拉函数,是线性时间的。

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